curvas de bezier

CURBAS DE BEZIER

Se denomina curvas de Bézier a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier, quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas deCAD.

Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, que las usó posteriormente con profusión en el diseño de las diferentes partes de los cuerpos de un automóvil, en sus años de trabajo en la Renault. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.

Construcción de curvas de Bézier

Curvas lineales

La   en la función para la curva lineal de Bézier se puede considerar como un descriptor de cuán lejos está  de   a  . Por ejemplo cuando  ,   es un cuarto de la longitud entre el punto   y el punto  . Como   varía entre 0 y 1,   describe un línea recta de   a 

Curvas cuadráticas

Para curvas cuadráticas se pueden construir puntos intermedios desde   a   tales que   varía de 0 a 1:

·         Punto   varía de   a   y describe una curva lineal de Bézier.

·         Punto   varía de   a   y describe una curva lineal de Bézier.

·         Punto   varía de   a   y describe una curva cuadrática de Bézier.

Construcción de una curva cuadrática de Bézier

Animación en 

Curvas de órdenes superiores

Para curvas de orden superior se necesitan, lógicamente, más puntos intermedios. Para curvas cúbicas se pueden localizar puntos intermedios Q₀, Q₁ y Q₂ que describen las curvas lineales de Bézier y los puntos R₀ y R₁ que describen las curvas cuadráticas:

Construcción de una curva cúbica de Bézier

Animación t en el intervalo [0,1]

Y para curvas de grado 4, se pueden localizar los puntos intermedios Q₀, Q₁, Q₂ y Q₃ que describen las curvas lineales de Bézier, los puntos R₀, R₁ y R₂ que describen las curvas cuadráticas y los puntos S₀ y S₁ que describen las curvas cúbicas.

Construcción de una curva de Bézier de cuarto orden.

Animación, t en el intervalo [0,1]