“FRACTAL”
Un fractal es una figura, que puede ser espacial
o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su
apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun
cuando se modifique la escala empleada en la observación.
Los fractales son, por lo tanto, elementos
calificados como semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a
la geometría tradicional) que disponen de una
estructura esencial que se reitera a distintas escalas.
El fractal puede ser creado por el hombre,
incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los
copos de nieve).
De acuerdo a Mandelbrot, los fractales
pueden presentar 3 clases diferentes deautosimilitud, lo que significa que las partes
tienen la misma estructura que el conjuntototal:
* autosimilitud exacta, el
fractal resulta idéntico a cualquier escala;
* cuasiautosimilitud, con el cambio de escala, las copias
del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;
* autosimilitud estadística, el fractal debe tener
dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la
escala.
Las técnicas fractales se utilizan, por
ejemplo, para comprimir datos. A través del teorema del collage, es
posible encontrar un IFS (sistema de funciones iteradas), que
incluye las alteraciones que experimenta una figura completa
en cada uno de sus fragmentos autosemejantes. Al quedar la información
codificada en el IFS, es posible procesar la imagen.
Hablamos de música fractal
cuando un sonido se genera y se repite de acuerdo con patrones de
comportamiento espontáneo que se encuentran con mucha frecuencia en la
naturaleza. Cabe mencionar que existen programas informáticos capaces de crear
composiciones de este tipo sin intervención del ser humano.
A menudo se cita el conjunto de Cantor en
relación a los fractales, aunque no es correcto. Su definición, y que suele
generar dicha confusión, es la siguiente: se toma un segmento y se lo parte en tres, para luego
eliminar el central y repetir dicho accionar infinitamente con los restantes.
La dimensión fractal
La
geometría clásica no es lo suficientemente amplia como para abarcar los conceptos
necesarios para medir las diferentes formas fractales. Si tenemos en cuenta que
se tratan deelementos cuyo tamaño cambia
incesantemente no es
fácil, por ejemplo, calcular su longitud. La razón es que si se intenta
realizar una medición de
una línea fractal utilizando una unidad tradicional, existirán siempre
componentes tan pequeños y delgados que no podrán ser delimitados con
precisión.
En la curva de Koch, graficada a la derecha,
se aprecia que desde su nacimiento crece a cada paso un tercio a lo largo; en
otras palabras, lalongitud de la porción que se ubica al
principio se incrementa sin fin, determinando que cada curva sea 4/3 de la
precedente.
Dado que la longitud de la línea fractal y la
del instrumento de medición o la unidad de medida escogida están directamente
relacionadas, resulta absurdo utilizar dicha noción. Es por eso que se ha creado
el concepto de dimensión fractal que permite, cuando hablamos de líneas
fractales, conocer de qué manera o en qué grado ocupan una porción de plano.
En relación con la geometría tradicional, un
segmento posee dimensión uno,
un círculo, dos, y una esfera, tres. Dado que una línea fractal no abarca toda
la porción de plano, debería tener una dimensión que no llegue a dos.
Estos conjuntos, fruto de los
trabajos de Pierre Fatou y Gaston
Julia en los años 1920, surgen como resultado de la
aplicación reiterada de funciones
holomorfas .
Analicemos
el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar
sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de
valores de que no escapan al infinito mediante
esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera,
simplemente conjunto de Julia.
Estos
conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada
pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele
usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no
han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.
